probabilidad y estadistica bloque 1, 2 y 3

BLOQUE 1

Tema 1: Enfoques y elementos de la probabilidad

Enfoque clásico: Los resultados de un experimento son igualmente viables es decir tienen teóricamente las mismas posibilidades de ocurrir
EJEMPLO: la probabilidad de que salga un trébol en una baraja francesa de 52 cartas es de 1/52

Enfoque empírico: La probabilidad de que un evento suceda se determina observando eventos similares en el pasado.

EJEMPLO: La probabilidad de que Brasil gane el mundial de Sudáfrica 2010 es de 5 mundiales ganados anteriormente 118 mundiales que se han celebrado en total.

Elementos de la probabilidad

Experimento aleatorio o experimento: cualquier opción cuyo experimento no puede ser predicho en anterioridad con seguridad.
EJEMPLO: Lanzamiento de una monedao el lanzamiento de un dado

Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados asociados a un experimento
EJEMPLO: Lanzamiento de un dado [1,2,3,4,5,6]

Evento o suceso: Es cualquier subconjunto de un espacio muestral

Cordinalidad de espacio muestral: corresponde a la cantidad de elementos contenidos en el.
EJEMPLO: [obtener un numero impar al lanzar un dado]
Resultado de imagen para dados

Tema 2: Conjuntos

¿Qué es un conjunto?

Es la agrupación, clase, o colección de objetos o en su defecto de elementos que pertenecen y responden a la misma categoría o grupo de cosas, por eso se los puede agrupar en el mismo conjunto. Entre los objetos o elementos susceptibles para conformar un conjunto se encuentran cosas físicas, como pueden ser las mesas, sillas y libros, pero también por entes abstractos como números o letras.

Diferentes tipos de conjuntos:

· Conjunto Finito: Es el conjunto al que se le puede determinar su cardinalidad o puede llegar a contar su ultimo elemento

· Conjunto Infinito: Es el conjunto que, por tener muchísimos elementos, no se le puede llegar a contar su ultimo elemento.

· Conjunto Vacío: Es el conjunto cuya cardinalidad es cero ya que carece de elementos.

· Conjunto Unitario: Es el conjunto que solo tiene un elemento. Su cardinalidad es uno.
o

Operaciones con conjuntos

· Unión de conjuntos: La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como: A U B = {x / x € A o x € B}

· Intersección de conjuntos: La intersección es el conjunto formado por los elementos que son comunes entre dos o más conjuntos dados. Se denota por A∩B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir: A∩ B = { x / x € A y x € B }

EJEMPLO:

Vamos a designar como “A” al conjunto de un equipo de fútbol al que llamaremos “blanco”; y los elementos son:

{Luís, José, Mario, Rodrigo, Manuel, Jacinto, Pedro, Ernesto, Fausto…}

Para distinguirlo como elementos del conjunto A se escribiría así:

A= {Luís, José, Mario, Rodrigo, Manuel, Jacinto, Pedro, Ernesto, Fausto…}

Como resulta muy largo de escribir el nombre de cada uno; se reducirá así:

A= {x½x miembro del equipo blanco}

Para aclarar que alguno de los jugadores es miembro del equipo anotaríamos lo siguiente:

Sea A= {x½x es miembro del equipo blanco}

Todos los miembros del equipo blanco se llamarán (hipotéticamente) “n” y este nombre se le asignará a cada jugador escribiéndose así:

n ∈ A

Se lee “n pertenece al conjunto A” y por lo tanto n pertenece al equipo blanco.

Si existe un equipo azul al que designaríamos como “B” y sus elementos como f, decir que no pertenece al conjunto A se harían de este modo:

f ∉ A

Se lee f no pertenece al elemento A.

VIDEO : https://youtu.be/NzcyLx0U0jM

Tema 3: Operaciones

¿Qué es una Operación Estadística?

Se considera como Operación Estadística (OE) al conjunto de actividades cuyo objetivo es:

La producción original de datos primarios mediante recolección propia de datos.
La elaboración de datos en base a datos administrativos originales (registros).
La elaboración de resultados en base a datos secundarios y la recopilación de resultados y la confección de análisis y de síntesis.
El desarrollo de herramientas metodológicas para la producción estadística y los trabajos de normalización e infraestructura estadística.
El término OE en el contexto del inventario, representa una sistematización simplificada de actividades estadísticas con la finalidad de recopilar, organizar y procesar datos susceptibles de análisis estadístico y divulgación pública, referentes a un determinado hecho o tema.
Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

EJEMPLO:
´
Un estudio estadístico de cuantas personas consumen coca-cola en México y la cantidad que llegan a ingerir a la semana.

Tema 4: Diagrama de Venn

Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figuras para ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos. A menudo, se utilizan para organizar cosas de forma gráfica, destacando en qué se parecen y difieren los elementos. Los diagramas de Venn, también denominados "diagramas de conjunto" o "diagramas lógicos", se usan ampliamente en las áreas de matemática, estadística, lógica, enseñanza, lingüística, informática y negocios.
Los diagramas de Venn son una forma para representar gráficamente conjuntos , subconjuntos ,intersecciones , y uniones . Estos son llamados así en honor de John Venn, que los comenzó a usar en 1880.

Tipos

Diagrama de dos conjuntos

Diagrama de tres conjuntos

EJEMPLO:

Digamos que A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3}, C = {3, 4}, D = {5, 6}. Un diagrama de Venn para esta situación se vería así:

VIDEO: https://youtu.be/fBcal5PIqYQ

Tema 5: Técnicas de conteo

Permutaciones

Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n.

n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n

Ejemplo:

10!=1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10=3,628,800

8!= 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 8=40,320

6!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x 6=720

También se puede ocupar la siguiente fórmula para el desarrollo de los problemas

EJEMPLO:

¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

Solución:

n = 25, r = 5

25P5 = 25!/ (25 -5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)=

= 6,375,600 maneras de formar la representación

Combinaciones

Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

La fórmula para determinar el número de combinaciones es:

EJEMPLO:

Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos

Solución:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5 )!5! = 14! / 9!5!

= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!

= 2002 grupos

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo.

VIDEO: https://youtu.be/u6qc-hglUcghd

Tema 6: Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol o árbol de probabilidad es una herramienta que se utiliza para determinar si en realidad en el cálculo de muchas opciones se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.

Es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta de una serie de pasos, donde cada uno de estos tiene un número infinito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación.

EJEMPLO:

Una universidad está formada por tres facultades:

· La 1ª con el 50% de estudiantes.

· La 2ª con el 25% de estudiantes.

· La 3ª con el 25% de estudiantes.

Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?

Pero también podría ser lo contrario.

VIDEO: -https://www.youtube.com/watch?v=EY5A0R6E3fs

Tema 7: Permutaciones y combinaciones

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:
"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.
"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

Si el orden no importa, es una combinación.
Si el orden sí importa es una permutación.

¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"!
Con otras palabras:
Una permutación es una combinación ordenada.

Combinaciones:

Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:
· No influye el orden en que se colocan.
· Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación:
Existen dos tipos: Combinaciones sin repetición y combinaciones con repetición, cuyos simbolos son los siguientes.

Antes de realizar cálculos debes repasar los conceptos de factorial de un numero y de numero combinatorio.

Permutaciones:

Las permutaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:
· Influye el orden en que se colocan.
· Tomamos todos los elementos de que se disponen.
· Serán permutaciones sin repetición cuando todos los elementos de que disponemos son distintos.
· Serán permutaciones con repetición si disponemos de elementos repetidos. (ese es el nº de vaces que se repite elemento en cuestión).
Es por ello que también se llaman ordenaciones. Los simbolos que utilizamos son los siguientes.

EJEMPLO DE COMBINACIÓN

Digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)

EJEMPLO DE PERMUTACION

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?

Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13... = 20, 922, 789, 888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

VIDEO: https://www.youtube.com/watch?v=DhOeAPRXGxM

Tema 8: Principio multiplicativo y aditivo

Principio de la multiplicación

Si un suceso se puede hacer de “m” formas diferentes y luego se puede realizar otro suceso de “n” formas diferentes, el número total de formas en que pueden ocurrir es igual a m•n. Es decir, ambos eventos se realizan, primero uno y luego el otro. El “y” indica multiplicación.

EJEMPLO:

¿de cuántas formas se puede vestir una persona que tiene 3 pantalones y 3 camisas?

Para vestirse, la persona se pone el pantalón y luego la camisa, es decir tiene 3 x 3 = 9 opciones diferentes de vestirse.

El principio aditivo

Es una técnica de conteo en probabilidad que permite medir de cuántas maneras se puede realizar una actividad que tiene varias formas para ser realizada, de las cuales se puede elegir una a la vez.

EJEMPLO

cuando se quiere escoger una línea de transporte para ir de un lugar a otro.

Vídeo: https://youtu.be/hVlQfd40ld8

Tema 9: Eventos

Eventos mutuamente excluyentes:

Dos o mas eventos son mutuamente excluyentes o disjuntivos, si no pueden ocurrir simultaneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide la ocurrencia del otro evento.

Ejemplo: Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.

Eventos independientes:

Sea A y B eventos independientes, esto quiere decir que para que ocurra A no depende si ocurre o no el evento B.

Eventos dependientes: Dos o mas eventos serán dependietes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos afecte la probabilidad de la ocurrencia del otro.

BLOQUE 2

Tema 1 : Distribución de Bernoulli

La distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (q=1-p).

Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro P.

Se utiliza cuando un proceso aleatorio tenga exactamente dos resultados: evento o no evento.

Su formula es:

EJEMPLO:

El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?

Solución:

Representemos por la variable aleatoria δ la decisión de asistir (δ = 0) o no (δ = 1) finalmente al restaurante por parte de una persona que ha hecho una reserva. Esta variable sigue una distribución de Bernoulli de parámetro p = 0,2, de acuerdo con el enunciado del ejercicio. Suponiendo que las distintas reservas son independientes entre sí, se tiene que, de un total de n reservas (δ 1....δ n), el número de ellas que acuden finalmente al restaurante es una variable

n

aleatoria Yn =∑δ1, con distribución binomial de parámetros n y p=0,2. En el caso particular

i=1

del problema, n=25. Entonces, para aquellas personas que asistan al restaurante de las 25 que han hecho la reserva puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que acudan 20 o menos. Así se tiene que:

Vídeo: https://youtu.be/TX2ga6fZxxM

Tema 2 :Distribución binomial

Una distribución binomial es una distribución discreta que modela el número de eventos en un número de ensayos fijo. Cada ensayo tiene dos resultados posibles, y evento es el resultado de interés en un ensayo.

La distribución binomial se usa frecuentemente en control de calidad, sondeos de opinión pública, investigaciones médicas y seguros.

El número de eventos (X) en n ensayos sigue una distribución binomial si se cumplen las siguientes condiciones:

El experimento consiste en repetir n-ensayos.

Cada ensayo da un resultado que puede ser clasificado como un éxito o un fracaso (de ahí el nombre, binomial).

La probabilidad de un éxito, denotada por p, permanece constante a lo largo de las repeticiones del experimento.

El número de éxitos X=K en n-ensayos de un experimento binomial se llama una variable aleatoria binomial.

Ejemplo:

Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos.

Solución:

a) n = 5

x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos

x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano

p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75

q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25

Vídeo: https://youtu.be/Nl7BsFe4xmY

Tema 3 : Distribución normal

¿Qué es la distribución normal?

Es la distribución continua que se utiliza más comúnmente en estadística. Esta distribución sirve para calcular la probabilidad de que varios valores ocurran dentro de ciertos rangos o intervalos. Sin embargo, la probabilidad exacta de un valor particular dentro de una distribución continua, como la distribución normal, es cero.

Propiedades teóricas:

· Tiene una apariencia de forma de campana (y, por ende, es simétrica).

· Sus medidas de tendencia central (media, mediana y moda) son todas idénticas.

· Su “50% central” es igual a 1.33 desviaciones estándar. Esto significa que el rango intercuartil está contenido dentro de un intervalo de dos tercios de una desviación estándar por debajo de la media y de dos tercios de una desviación estándar por encima de la media.

· Su variable aleatoria asociada tiene un rango infinito (-∞ < X < ∞).

Explicación de tabla para realizar ejercicios

Al realizar un ejercicio se tomara en cuenta a la probabilidad de la variable X y para poder calcularla necesitaremos de una tabla y para poder utilizar la tabla tenemos que transformar lavariable X que sigue una distribución N(µ, σ) en otra variable Z que siga una distribución.

Ejemplo:

La temperatura durante setiembre está distribuida normalmente con media 18,7ºC y desviación standard 5ºC. Calcule la probabilidad de que la temperatura durante setiembre esté por debajo de 21ºC. Resolución. µ = 18,7ºC σ = 5ºC X = 21ºC =

Z=X-M/ σ= 21-18.7/5 = 2,3/5= 0.46

Ahora vamos a la tabla y para el valor de Z = 0,46 tenemos que la probabilidad es de 0,6772.

Justamente esta tabla nos proporciona la probabilidad desde que ocurran sucesos menores que z=0,46. Esto es, la probabilidad de que que ocurran sucesos desde menos infinito hasta el valor de Z de 0,46 es 0,6772. Esto es, un67,72%

Sucesos menores que z=0,46 es lo mismo que decir que la temperatura sea menor que 21°. Con la variable X hablamos de temperatura, con la variable estándar hablamos de Z.

Vídeo: https://youtu.be/phY8Z9-TXCY

BLOQUE 3

Tema 1:Probabilidad condicional

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B) o P(A/B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal.

EJEMPLO:

Un ejemplo es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad que en el dado salga un 6 dado que ya haya salido una cara en la moneda? Esta probabilidad se denota de esta manera: P(6|C). El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

Video: https://youtu.be/yWUTaQOwjxU

Tema 2: Teorema de bayes

Este teorema nos sirve para saber la probabilidad de que suceda un evento, teniendo en cuenta los que han pasado con anterioridad

En esta operación matemática intervienen 3 clases de probabilidades, que son las siguientes:

P (A_i) o probabilidad a priori de un suceso “A”.
P (A_i/B) o probabilidad a posteriori de un suceso “A”, (cuando se obtiene la información de que ha ocurrido un suceso B).
P (B/A_i) o verosimilitudes del suceso “B” son supuestos que habrían de ocurrir a cada suceso A_i.

Matemáticamente el teorema de Bayes es igual al cociente del producto de la probabilidad “B” dados (A_i), P (B/A_i) (siendo B el suceso conocido y “A_i” los sucesos condicionados) por la probabilidad P (A_i) entre la sumatoria de cada probabilidad que contenga el suceso conocido por cada suceso conocido.

EJEMPLO:

Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea diabética es 0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97.
Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero supongamos que al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son superiores a 1.000 mg/l, lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2% de las personas sanas.

¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética?

La respuesta que nos dá el teorema de bayes es que esa información adicional hace que la probabilidad sea ahora 0,595.
Vemos así que la información proporcionada por el análisis de sangre hace pasar, la probabilidad inicial de padecer diabetes de 0,03, a 0,595.
Evidentemente si la prueba del análisis de sangre hubiese sido negativa, esta información modificaría las probabilidades en sentido contrario. En este caso la probabilidad de padecer diabetes se reduciría a 0,0016.

Video: https://www.youtube.com/watch?v=yWUTaQOwjxU&feature=youtu.be

Tema 3: Distribución de Poisson

Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña .

Proceso experimental del que se puede hacer derivar

Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental de observación en el que tengamos las siguientes características

Se observa la realización de hechos de cierto tipo durante un cierto periodo de tiempo o a lo largo de un espacio de observación

Los hechos a observar tienen naturaleza aleatoria ; pueden producirse o no de una manera no determinística.

La probabilidad de que se produzcan un número x de éxitos en un intervalo de amplitud t no depende del origen del intervalo (Aunque, sí de su amplitud)

La probabilidad de que ocurra un hecho en un intervalo infinitésimo es prácticamente proporcional a la amplitud del intervalo.

Los hechos a observar tienen naturaleza aleatoria ; pueden producirse o no de una manera no determinística.

La probabilidad de que se produzcan un número x de éxitos en un intervalo de amplitud t no depende del origen del intervalo (Aunque, sí de su amplitud)

La probabilidad de que ocurra un hecho en un intervalo infinitésimo es prácticamente proporcional a la amplitud del intervalo.

EJEMPLO
Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
Solución:
a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.
l = 6 cheques sin fondo por día
e = 2.718

b)
x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.
l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos
Nota: l siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

Vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=nhxMLs5fwHU&feature=youtu.be